在機(jī)器學(xué)習(xí)的優(yōu)化問(wèn)題中，梯度下降法和牛頓法是常用的兩種凸函數(shù)求極值的方法，他們都是為了求得目標(biāo)函數(shù)的近似解。在邏輯斯蒂回歸模型的參數(shù)求解中，一般用改良的梯度下降法，也可以用牛頓法。由于兩種方法有些相似，我特地拿來(lái)簡(jiǎn)單地對(duì)比一下。

　　1.梯度下降法

　　梯度下降法用來(lái)求解目標(biāo)函數(shù)的極值。這個(gè)極值是給定模型給定數(shù)據(jù)之后在參數(shù)空間中搜索找到的。

　　迭代過(guò)程為：

　　梯度下降法更新參數(shù)的方式為目標(biāo)函數(shù)在當(dāng)前參數(shù)取值下的梯度值，前面再加上一個(gè)步長(zhǎng)控制參數(shù)alpha。梯度下降法通常用一個(gè)三維圖來(lái)展示，迭代過(guò)程就好像在不斷地下坡，最終到達(dá)坡底。為了更形象地理解，也為了和牛頓法比較，這里我用一個(gè)二維圖來(lái)表示：

　　在二維圖中，梯度就相當(dāng)于凸函數(shù)切線的斜率，橫坐標(biāo)就是每次迭代的參數(shù)，縱坐標(biāo)是目標(biāo)函數(shù)的取值。

　　每次迭代的過(guò)程是這樣：

　　首先計(jì)算目標(biāo)函數(shù)在當(dāng)前參數(shù)值的斜率(梯度)，然后乘以步長(zhǎng)因子后帶入更新公式，如圖點(diǎn)所在位置(極值點(diǎn)右邊)，此時(shí)斜率為正，那么更新參數(shù)后參數(shù)減小，更接近極小值對(duì)應(yīng)的參數(shù)。

　　如果更新參數(shù)后，當(dāng)前參數(shù)值仍然在極值點(diǎn)右邊，那么繼續(xù)上面更新，效果一樣。

　　如果更新參數(shù)后，當(dāng)前參數(shù)值到了極值點(diǎn)的左邊，然后計(jì)算斜率會(huì)發(fā)現(xiàn)是負(fù)的，這樣經(jīng)過(guò)再一次更新后就會(huì)又向著極值點(diǎn)的方向更新。

　　根據(jù)這個(gè)過(guò)程我們發(fā)現(xiàn)，每一步走的距離在極值點(diǎn)附近非常重要，如果走的步子過(guò)大，容易在極值點(diǎn)附近震蕩而無(wú)法收斂。解決辦法：將alpha設(shè)定為隨著迭代次數(shù)而不斷減小的變量，但是也不能完全減為零。

　　2.牛頓法

　　首先得明確，牛頓法是為了求解函數(shù)值為零的時(shí)候變量的取值問(wèn)題的，具體地，當(dāng)要求解 f(θ)=0時(shí)，如果 f可導(dǎo)，那么可以通過(guò)迭代公式，來(lái)迭代求得最小值。

　　通過(guò)一組圖來(lái)說(shuō)明這個(gè)過(guò)程：

　　迭代的公式如下：

　　當(dāng)θ是向量時(shí)，牛頓法可以使用下面式子表示：

　　其中H叫做海森矩陣，其實(shí)就是目標(biāo)函數(shù)對(duì)參數(shù)θ的二階導(dǎo)數(shù)。

　　3.牛頓法和梯度下降法的比較

　　1.牛頓法：

　　是通過(guò)求解目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為0時(shí)的參數(shù)，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)最小值時(shí)的參數(shù);

　　收斂速度很快;

　　海森矩陣的逆在迭代過(guò)程中不斷減小，可以起到逐步減小步長(zhǎng)的效果。

　　缺點(diǎn)：

　　海森矩陣的逆計(jì)算復(fù)雜，代價(jià)比較大，因此有了擬牛頓法。

　　2.梯度下降法：

　　是通過(guò)梯度方向和步長(zhǎng)，直接求解目標(biāo)函數(shù)的最小值時(shí)的參數(shù);

　　越接近最優(yōu)值時(shí)，步長(zhǎng)應(yīng)該不斷減小，否則會(huì)在最優(yōu)值附近來(lái)回震蕩。